Un sistema arbitrario de m ecuaciones lineales con n incógnitas es:

Donde x1, x2, ... , xn son las incógnitas y aij y bi son coeficientes reales.
El empleo de dos subíndices para los coeficientes de las incógnitas es una
notación muy útil que se adoptará para determinar la colocación de los
coeficientes en el sistema. El primer subíndice indica la ecuación en la que
aparece el coeficiente y el segundo a qué incógnita multiplica.
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas (sistema de orden mxn), se
puede abreviar escribiendo únicamente el arreglo rectangular de los
coeficientes.
A la matriz A' se la conoce como matriz ampliada del sistema, mientras que
a la matriz A se la conoce como matriz del sistema.
El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste
en reemplazar el sistema dado por un nuevo sistema equivalente, pero que
sea más fácil para resolver. Por lo general, este nuevo sistema se obtiene
luego de una sucesión de etapas, aplicando las siguientes operaciones:
i) Multiplicar una ecuación por una constante distinta de cero.
ii) Intercambiar dos ecuaciones.
iii) Sumar un múltiplo escalar de una ecuación a otra.
Dado que las filas de una matriz ampliada corresponden a las ecuaciones
del sistema asociado, estas tres operaciones equivalen a las operaciones
elementales en las filas aplicadas a la matriz ampliada.